复利、折现与永续年金的理解和计算
发布时间：2023-02-23 04:53:08
“永续年金”对于了解过它的人而言很简单，如果没有听说过自然就觉得陌生了。由于这个东东的变种“永续增长年金”在自由现金流折现(FCF)的计算过程里是必须要接触到的，所以这篇刚好写写我对于“永续年金”的理解。
英国的金边债券
追根溯源，我们先看看十分著名并且也该是最早出现的一个永续年金的例子——英国政府发行的无限期的金边债券。17世纪，英国政府开始发行信誉度很高的政府公债，当时发行的这些公债带有金黄色边，因此被称为“金边债券”。最初这些债券的偿还期是有限的，比如5年内偿还本金的短期债券、5-15年的中期债券。到了18世纪，英国财政部为了筹备英法战争所需要的资金，减轻长期战争带来的财政压力，发行了一只没有到期期限的债券，开创了永续债券的先河。
购买了英国发行的永续金边债券的投资者可以永远享有每年在英国政府领取利息的权利，也就是投资者自己，还有他的子子孙孙都可以一直领取下去。这听起来似乎有些难以置信，但不急，等我们后面计算出了永续债券的价值之后就会明白它其实并不像听起来那么厉害。
这里，我们先把“永续年金”和“永续债券”之间的关系理清，“永续年金”的含义是一系列无限持续的恒定的现金流，“永续债券”是“永续年金”的典型例子之一，因为购买永续债权的投资者可以获取持续的恒定的现金流(债券的利息)。
复利与折现
在进入永续年金价值的计算之前，我们还有一步工作要先做：理解货币的时间价值。对于货币时间价值的解释会涉及到一点点经济学上的概念，其中最常见的是美国经济学家欧文·费雪(Irving Fisher)在他的利息论中提出的不耐性(impatience)和投资机会(Opportunity to invest)。不过我们这里可以简单地基于现实生活中的现象来理解货币的时间价值，比如今天的100元和未来某个时间点的100元是不等价的，前者的价值大于后者的价值，毕竟我把今天的100元放在银行会有利息。在这里，衡量时间价值的标尺称作“利率”。
1. 现值和终值
继续上面这个简单的例子，现在的100元为 “PV”(Present Value，现值)，明年今天的100元为 “FV”(Future Value，终值)，那么“PV”和“FV”间隔的1年为“1个时期”，基于这个时期的利率为 r(相当于年利率)，那么我们有如下公式：
PV和FV是一对金融术语，分别用来表示“当前的价值”和“未来某个时间点的价值”，上面这个公式我们可以解释为今天的100元在利率为10%的情况下经过1年后将变为 100 x (1 + 10%) = 110元，这个是不难理解的。
2. 复利
为了引出“复利”的概念，我们把上面的时间跨度从“1年”延长到“2年”，那么在1年之后我们会面临两个选择：
选择一：将1年到期收回的本金100元 + 利息10元共计110元再进行投资。
选择二：将1年到期收回的本金100元再投资，而把10元的利息花掉。
对于选择一来说，2年后我们可以得到 FV = 100 x (1 + 10%)^2 = 121元，而选择二来说我们得到的资金总量为 FV = 100 + 100 x 10% x 2 = 120元。选择一我们通常称为“单利”，选择二我们称为“复利”。复利的计算公式如下：
假设你当前拥有资金为PV，那么在利率为 r 的情况下经过本息再投资 n 年后你将拥有的资金为FV。比如我们可以说，今天的100元在利率为10%的情况下经过1年后将变为 100 x (1 + 10%) = 110元，如果经过2年将变为 100 x (1 + 10%)^2 = 121元 ...
这个公式就是爱因斯坦称道的“世界第八大奇迹”。沃伦·巴菲特在2008年凭借其投资业绩成为世界首富，他的投资业绩也才20%左右的复合年化收益率，也就是上面公式里面的 r 为20%左右。看起来很低，但要做到是很难的。因为复利展现出强大的效力必需两个要素：① 稳定的收益;② 足够长的时间。稳定的收益需要对抗一切可能的风险，比如企业、行业、市场、国内外的经济形势;足够长的时间在本质上对抗人贪图享受的欲望的，又极其磨练人的耐心。
3. 折现
折现就是复利的逆运算，它所表达的意思是未来某个时间点的价值在今天价值几何。在我们弄明白复利之后折现就容易了，它的公式就是将复利公式变换个形式：
也就是说1年后的100元在今天价值 PV = 100 / (1 + 10%) = 90.90元，2年后的100元在今天价值 PV = 100 / (1 + 10%)^2 = 82.64元 ... 1年后的110元也就相当于今天的100元。我们需要注意的是折现率 r 的选取，通常是你能够获得的最大的、稳定的投资收益率。
永续年金与计算
绕了一圈我们总算再次回到了永续年金的话题上。我们还是以永续债券的例子进行计算，假设我购买了年利率为3%面值为100元的永续债券，那么我从此以后每年都可以获取 100 * 3% = 30元的债券利息。我们将未来接收到的所有的债券利息折现就得到了永续债权在当前的实际价值，为：
这个公式的计算需要一定的数学基础，我们这里直接给出结果：30/r。再次提醒：折现时使用的折现率 r 和债券的利率是两个东西，折现率通常是机会成本所对应的收益率，也就是如果你把投资永续债券的这笔资金拿去投资其他对象能够获取的最大收益率。
所以，如果我们假设永续债的年利率为 r，你的理财能力允许你可以获取到的稳定的年收益率为 x，那么你购买C元永续债的价值为 C * r/x。也就是说，永续债的价值看起来是无限的，实际上是有限的，如果你本身能够获得超过永续债利率的收益率，永续债本身的吸引力并不大。
对于永续年金而言，你也可以按照上面的方式计算出它当前的价值，用“每期的现金流”除以“折现率”就行了。
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