市盈率估值的数学推导
发布时间：2022-01-17 16:31:32
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文章较长，共6000多字。分为4部分。
第一部分探讨投资股票市场所应预期的收益率，从而为我们评估企业的估值是否合理提供一个合适的锚点。
第二部分将企业按生命周期大致分为4类，探讨每一类企业的合理市盈率应该是多少。
第三部分选取本人比较熟悉的3只股票做例子，探讨估值分析过程。
第四部分对前面3部分内容做了些补充说明。
一，投资收益率锚点。
买股票，最基本的要求之一，就是能够对个股做大概的估值。如果无法进行估值，则极容易在高估时候买入从而大幅亏损，或者在低估时候又不敢下手。何为高估何为低估，那需要对个股回报率有个基本预期。回报率极低时候，那显然是高估，回报率超高时候，那就是低估。怎样的回报率算作高，怎样是低，需要有个锚点。网上有些文章，直接跟无风险/低风险利率作比较，比如货币基金，以3%~4%做锚点，认为25倍~33倍市盈率是合理，低于25倍，回报率超过4%，则可以放心买入/持有。然而，4%真的是投资二级市场应该预期的？企业有那么多风险，预期太高、经济发展变缓、企业经营失误、行业被颠覆、竞争对手太强等等，都会导致最后回报率远低于预期。如果都是以4%做期望，只要投资的公司有小部分失误，回报率将低于4%。真不如直接买货币基金，即无波动，风险又小，确定性高，最终收益也会更高。所以，投资股市，肯定不能简单以无风险/低风险利率为锚点。个人觉得，指数回报率，是个比较好的比较对象。
根据《投资者的未来》的信息，标普500指数在1957年到2003年年化收益率10.85%。
在中国，公认的比较合理的指数之一，是沪深300，包括了沪深2市，当前规模较大的300家公司。沪深300从2005年1000点涨到2020年5211，年化涨幅10.86%。因为分红没有计入指数，只看指数会低估回报。历史回测可以参考etf。为简化计算，我们先参考“沪深300ETF南方”，因为该基金2013年3月11号成立至今没有分红过，不需要考虑红利再投资问题。基金净值从2013.3.11的1涨到2021.3.11的2.4（因为该etf是3月11号净值为1，以11号做基准，更直观），年化收益11.6%。但2013年大盘股是熊市，2020年涨幅较大，会一定程度上影响收益。抹平周期波动，取得平均收益的一个常用方法，就是定投。因此，也可以采用定投的方式对指数进行回测。假设从2013年3月开始，每月11号投入等额的资金，假设为1万元，至2021年3月11号，累积投入96万，期末净资产171.8万，盈利79%，平均年化收益率16.24%。平均年化收益率定义为每个月投入资金的年化收益率的算术平均值。可以发现，定投的年化收益率竟大幅高于标的期间年化收益率。这大概是A股“牛短熊长”带来的福利，另外2021年沪深300创历史新高也是重要原因。
从标普500及沪深300的增长情况，可以看出，定投指数，风险低，收益远高于无风险利率。只要资金可以3年以上不使用，定投指数大概率将优于买理财、货币基金，而且时间越长，优势越突出。风险又远低于投资个股。因此，投资股市，比较基准更合理的应该是指数，追求的收益率也不应该低于10%。
二，各发展周期下的企业估值。
假设市场对资本回报水平的追求是10%。我们以10%作为折现率，针对几种简单情况，计算公司的合理市盈率（即当前市盈率是多少，长期看公司能提供10%的回报）。
1、稳定经营期
公司处于稳定经营期，利润常年稳定不变/波动。
假设持续经营n年，每年利润稳定，并全部用于分红，然后价值直接归零。公司当前利润为1，公司n年时间分红带回给投资人的收益现值
n=10:现值P=6.76；n=20:P=9.36；n=无穷大:P=11
结论：对于一个不再增长的企业，给予的市盈率最多为11。翻翻现在的市场估值，其实也大概都是这个水平。
比如：中国神华，pe(静态市盈率)11倍，ttm(滚动市盈率)9.3倍。
神华过去10年利润一直在400亿左右徘徊，2011年既450亿，2020年392亿。10年年均386.8亿，目前市值4300亿左右。2011年底探明的煤炭可售储量是93.5亿吨，2020年底，只剩77.3亿吨。可见，公司煤炭业务在逐步耗尽，利润常年稳定，如果利润都不需要用来维持经营，能够用来分红，那么10倍pe可以带来10%左右的年化收益。
再看看公司分红，10年来累积每股分红11.66元，即总分红2316亿。占总利润60%。2020年利润392，分红360亿，占比92%；2019年利润432.5,亿，分红250.6亿，比例58%。2018年分红比例40%。公司这几年在逐步提高分红。如果后面能稳定90%分红，相当于对利润打了9折，可以简单认为公司目前TTM 10.3倍。由此可见，目前市场对神华期望收益是10%左右。当然，如果后面分红低了，利润预计长期下滑了，股价会跟着下跌。发现神华有其他增长业务发展很不错，股价则会上涨。
2、稳定增长期
公司处于成熟期，规模不再增长，但利润能长期增长。
业务长期经营，但是市场占有率太高，没法扩张，只能通过提价获得利润增长。假设n年内可以稳定增速r，n年后价值归零。期间利润全部用于分红（假设利润增长来源于提价，设备、固资更新由折旧覆盖）。则股息收益现值P，
如果公司产品议价能力非常强，能长期与GDP同步增长，近几年名义GDP增长速度7%-11%之间（2020年因为疫情原因，没有太大参考意义），假设r=0.07，n=20，则P=15.6；若n=50，P=27.5；n=无穷大，P=36.7。下表列出了9种组合结果：
可见，对于能够仅靠提价就能实现增长的企业，企业经营续存期长短，及增长速度，对企业估值影响甚大。因此，市盈率超过20倍，赔率就会低很多。实现10%以上年化收益风险较大。
3、衰退期
公司处于衰退期，不再进行投资，利润全部分红，规模逐渐缩小。
假设公司n年内逐渐衰亡。衰减速度固定。简单点，认为公司衰减为原来的1%规模时价值归零。衰减速度R=0.011/n。公司现值
也就是说，对于已经开始衰退的夕阳产业，给的估值，最好不要高于6倍pe。
4、成长期
公司处于成长期，仍然可以以较快速度增长。
但是增长期间不分红，全部用于再投资。n年后达到上面3种情况之一。根据上面结论，我们可以直接取n年后利润，乘以预估的pe，算出n年后市值。假设n年内增长率为r，n年达到上面情况一，假定到时给的是10倍pe。那么现值P=(1+r)n*10/1.1n
可以发现，对于一个在高速成长期的企业，如果高速增长持续时间长，能给与的估值非常高。这也就是现在新能源行业估值普遍很高的原因。市场预期宁德时代这类企业，能随着产业发展，持续高速增长，于是给与了非常高的估值。当然，这样一来现在买入，即使真的发展速度很快，持续时间很长，那很可能也只能获得微薄的10%的收益，然而却承受着巨大风险。一旦有一个企业，比如比亚迪，挑战了宁王的位置；或者电池产业技术路线发生变化，而宁德时代没有跟上，那么杀估值将非常恐怖。从100倍pe跌到20倍，跌幅就是80%。（此处只是做风险分析，不是对宁德时代的估值判断。宁德时代现在估值是高是低，本人做不了判断。）
如果公司预期续存期很长，并且可以长期跟随通胀甚至GDP增长的，那n年后给予的市盈率会比10倍高，以上的计算需要重新进行。比如，长期预计长期可以7%以上增长，续存期估计大概率30年以上，给与20.7倍pe，以上的表格，PE全部乘以2.07即可（把公式里的10替代成20.7，10*2.07）。茅台可能属于这个类别吧，相信高端白酒价格涨幅长期不低于GDP增长幅度大家是认可的。近期茅台很长时间没涨价，这几年基酒有所增长，接下来几年可以预计年均20%以上增长，即合理市盈率可以到15.5*2.07=32倍。这么算，好像茅台现在高估不少了。但可能不少资金预计近期增长可以超过25%；或者对于茅台的确定性，他们折现率不需要10%；或者他们预计长期增长可以高于7%；或者可以对更长的续存期进行折算，比如50年，那么合理市盈率是15.5*2.75=43。这样一来，现在茅台的股价感觉也就不贵了。但是，前面算估值时候，有个假设，就是过了成长期之后，每年利润是如数分红。其实，现在的茅台已经不需要太多资金进行再投资了。看过去茅台分红情况，分红率也没有很高。茅台根本不需要那么多现金。它现金还是懒洋洋的躺在了账上，没有去投资好资产。如果不分红、又不进行好的投资，估值就不一样了。这些钱一直放在账上也不是特别合理，说不定哪年就派发特别股息。对情况二的模型我们做一些修改，50年续存期，假设每10年，将前十年的利润全部分红，而不是每年都分，现值
r=0.07时，P=17.7。茅台分红率50%。假设剩下的50%，每10年会派发出来，那么，合理pe=15.5*2.75*0.5+15.5*1.77*0.5=35。当然，这些分析是假设酒价长期只能7%速度增长，并且不做扩产。如果涨价很快，或者中低端酒发展很快，甚至扩展到红酒、食品领域，开启第二增长领域，那么以上的分析就全错啦。所以估值分析到最后，比的还是对企业、对行业、对市场的理解。只有自己的理解比市场更贴近事实，才能估出更合理的估值，才能有超越市场的收益。否则还是定投指数更好。
5、估值推广
根据以上4种基本情况，可以将估值推广到大多数公司。
最简单的方法，如果可以预测公司k年后的利润情况，跟所处的生命周期，我们可以大概预估k年后公司的市值，再折现到当前，与当前估值相比，就能大概评估公司是否高估、或者低估。当然，首先得能够大概预估未来利润并判断公司发展前景。
三，例子
按照这个逻辑我们试着分析几个公司。
1，牧原股份
公司在大幅扩张产能，目前储备土地已经能够满足年1亿头生猪出栏。2021年底建成产能8000万头以上。预计3年内年出栏将超过1亿头。按照公司过去利润水平，及屠宰产能规划，预计公司完整周期头均利润在350-450元之间。则3年后期望利润可以达350亿-450亿。因为猪肉是长期看都是涨价，而且是生活必需品，公司就是不扩张，营收也大概率按3%以上增长。（2000年至今猪价上涨不止2倍，年化3.5%以上）。保守的按照情况二推算市盈率，可以给13倍以上。那么3年后合理市值4550–5850之间。折算到现在的2700亿，有68%-116%的空间，3年后能回到合理估值水平，则有年均18%-29%的收益。超过10%，属于低估。另外，作为规模养猪的企业中成本最低的企业，上市七年，出栏增长百倍的企业，1亿头出栏市占率也就15%左右，预计公司会继续扩大产能。如果公司继续扩大，5年内到1.5亿出栏，那么利润将达到525亿到675亿，13倍pe，6825亿到8775亿，折算到现在，年均20%-26%收益。当然，就算公司发展跟自己预期的一样，5年内也未必会达到预期的市值。这只是对收益率做估计。按此发展，投资牧原年收益率将大于10%。如果5年内实现价值回归，那么年收益将有机会到20%以上。如果公司过几年，在肉制品方面有较好发展，形成新的增长点，到时将能够实现更高的收益。当然，如果公司养殖水平下降，成本上涨，或者友商成本也大幅下降，公司的头均利润远低于350，那么收益将大幅缩水。
2，万华化学
今年利润250亿-260亿左右。看过去发展，公司大概以4年为一个周期。今年按250亿算，最近一个周期年平均利润152亿。当然，因为去年跟今年新增产能的量特别大，现在的期望利润（周期平均利润）肯定是大于152亿的。如果直接取这两年的平均，是175亿。个人估计今年周期平均利润在175亿-190亿之间。根据公司的环评公示，按今年平均价格计算，3年内投产的工程，可以贡献营收超1300亿，与今年公司收入相当。相当于3年收入可以翻倍。而毛利率最大的MDI也从目前的260万吨扩到420万吨，增长61%。随着大量高端产品的量产，新材料板块毛利率也大概率会提升。那么相比现有产品，我们可以保守点，对新增营收的净利打个9折，那3年后利润将达到175*1.9到190*1.9之间，即332–361亿。公司研发能力强大，主要产品生命周期长（mdi已经使用60年，而且一直在增长，目前全球需求量年增长还有5%以上），并且长期在增长。公司这几年不断的有新的高端产品量产，配套的原材料也量产，促进营收、利润不断迈上新台阶。预计3年后，仍然可以以2位数的速度增长多年，结合公司ROE长期高于20%，该预期是大概率能实现的。简单起见，认为其将以20%速度再增长5年，之后进入平稳期，那么根据情况四的讨论，可以给15.5倍PE。3年后公司合理市值在5100亿到5600亿之间。折算到现在3200亿，年化收益16%-21%之间，高于10%。属于低估。另外公司分红率也比较高，近几年都是净利润的40%。按现在3200亿市值算，股息率3%左右，相当于年化收益可以增加3%，即19%-24%之间。当然，主要风险就是，以上分析充满了假设，如果接下来几年公司新材料研发停滞不前，新增工程寥寥无几。或者新增产能销售不佳，甚至因为MDI的大幅扩产，导致市场供过于求，价格大跌。那么3年后期望利润会低于330亿，也不能按15倍PE估值了。所以，投资需要相当的安全边际，赔率低了不能投；也要持续跟踪，经营与预期不一致了，要及时修正估值。
3，腾讯
目前腾讯1500-2000亿的利润，以腾讯几乎处于垄断地位的社交产品及其强大的互联网产业布局，普遍认为腾讯可以持续经营很多年，并且每个业务板块都还有很大的发展潜力。只是潜力多大，增长速度能多快，没人说得清。几年后规模到一定程度后，仍然可以继续小幅增长，比如7%——因为注意力肯定是越来越值钱，腾讯拥有的用户资源，持续增长应该不是问题。那么几年后可以给个20倍pe。恰好当前也是20倍左右，意味着，现在投资腾讯，收益率将跟腾讯每年利润的增长一样。看好腾讯近几年增长仍能够达2位数的，这就是一笔不错的投资。
四，补充说明。
1）上面例子计算收益率时候，直接加上了成长期的股息率。是这样推导的。对于情况四，考虑成长期期间的分红。假设分红时候，股息率是d，那么将分红直接再买入股票，股权是原来的1+d倍，如果每年如此，那么n年成长期之后，股权增加到(1+d)n，相当于所持有股权的利润，从1增加到了(1+r)n*(1+d)n。而不仅仅是(1+r)n，所持有股权的合理市值，是(1+r)n*(1+d)n*10，是不考虑分红的(1+d)n倍。设现在市值S，原来计算的收益率为
考虑股息再投资之后收益率是
即年化收益比原来增加
这么算，如果原来预期是正收益，实际收益率增加值略大于d。方便评估，直接认为是d。
2）对于情况一到三，都是假设利润全部用来分红，如果公司需要利润用来再投资，以维持利润规模，那么实际自由现金流就没有利润额那么多了。可以认为自由现金流就是可分红的利润，有时可以直接使用红利替代报表利润进行估值就可以。比如中国石化，近10年利润一直在300-700亿之间波动，平均533亿，比较稳定。分红率在70%左右。目前市值5100亿，以分红额替代利润，是9.57倍“市盈率”，在合理估值水平。多于分红的那些利润都投资用来维持利润水平了，当做“费用”也不为过。我对中石化研究不多，这仅仅是个例子。
3）如果个股预期年化回报率也只有10%，显然投资个股是不如投资指数的，因为指数拥有大量企业，发展更加稳定，确定性更高。个股风险更大。但是以上估值分析，都是比较保守的分析，比如假设8年后万华就不再增长。但万华过去20年，营收、利润增长了200多倍，年化增长都是32%。8年后就不再增长是非常保守的假设。茅台过去20年营收增长90倍，利润增长近200倍，年化增长30%，假设以后永续增长7%，也是保守的假设。基于保守假设计算出来的估值，如果预测没有错的太严重，获得的收益也大概率大于10%。这样多投资几个企业，或者提高看企业的“眼力”，提高押中宝的概率，期望收益就会大幅大于指数。
根据上面的分析，对公司的估值，是基于大量的假设，失之毫厘，谬以千里。比如，对于情况二，我们预估公司长期能够小幅增长，这个增长幅度是3%，还是7%，对估值影响甚大。特别是对于成长期的公司，到底成长期是5年，还是20年，增长速度是25%，还是15%，对估值影响，简直一个在天，一个在地。就算强如茅台的公司，到底茅台的价格长期能以什么速度增长呢，可能谁也说不清。所以市场乐观时候，给了50倍pe，比如今年。悲观时候，给10倍pe，比如2014年。这里面掺杂了太多主观因素，大多数时候跟一定时期内市场环境关系密切，而市场环境一直在变。所以估值，是毛估估估出来的，相当艺术！鉴于此，要想在市场赚钱，赔率、概率的估计就变得非常重要。只有在赔率非常高时候，确定性也很高的时候下注，才能实现多赚少赔。而估算赔率、概率，就要求投资人对商业、行业具有相当的理解能力跟分析能力。反正投资就一个字，难！
另外，对于10%折现率的假设，是参考历史长期的指数回报。但在几年的时间周期里，市场对折现率的要求也在变化。比如无风险利率到7%、8%，甚至更高的时候，市场对股票的回报率要求肯定不止10%，所以一般随着无风险利率的升高，股市整体估值会一直下降，产生长时间的熊市，比如1961年至1981年的美股。当无风险利率非常低的时候，市场对股市回报率的要求可能又远没有10%。如果这个时候拿着10%的折现率去计算估值，可能会找不到股票投资。不过，当你降低回报预期，买入原本觉得高估的股票之后，可能回报率就真的很低了。
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