等现值分红现金流久期
发布时间：2022-02-19 18:24:23
目标：构造低风险可持续现金流，每期所得现金全部用于消费。
适用条件：高分红稳增长，低分红高增长。
不适用：短期增长以及通过本金份额的增长。
其他：没有合理和规范性的判断，只是尽量让数据保持客观。
目录：
一.准备：泰勒级数
二.推导：等现值分红现金流久期
三.扩展知识：久期、修正久期、凸度
一.准备：泰勒级数
泰勒级数：把一个原函数用一个多项式函数近似，例如在下图，函数f(x)在a点泰勒级数展开。泰勒展开的意义：泰勒展开后，数值计算会容易一些，但是泰勒展开只是对原函数值近似，不是相等。
泰勒级数是在原函数的某一点处（比如在x=a处）展开，因此，如果使用泰勒级数近似，尽量使得近似点靠近展开点，否则就会产生较大的误差。
为什么要使用泰勒级数展开？是为了使得最终的表达式简洁、容易记住和方便使用，但是遗憾的是本文并没有实现这个目标。
二.推导：等现值分红现金流久期
基于理财目标的主要目的是用于创建稳定的现金流，因此想计算出在首次投入现金（现值）多久后，可以把等价于现值的现金流全部回收回来。
假设股票在时间T0分红，总是在分红后买入，买入价是P0，且股票每年都分红，Dt表示每年的分红现金；再假设分红增长率是g，表示分红每年以一定速率增长，增长来源于净利润的增长，净利润增长又来源于通货膨胀和产出的增长；因为是比较现值，因此需要一个贴现率r。定义初始股息率为DYR0=D0/P0，D0是历史分红，P0是买入价格，因此这是从市场中可获得的观测值。
总的来说，变量有分红增长率g，贴现率r，非变量有股息率DYR0，各期分红Dt=D0*(1+g)^t，各期分红现金的价值全部贴现到时间T0，周期是1年。
1.首先求取等现值现金流的时间t，推导如下：
此处的近似值非常不准确，仅作为演示保留在这里，现实中不要使用这个公式。
2.上面的时间t就是回收等现值分红现金流需要的时间，这个求得的时间t可能不是整数，可是分红时间却必须是整数，因此再把时间向上取整，向上取整后，又可能导致分红现金现值大于当前现值，这个影响暂时忽略。然后再利用久期公式，计算久期：
其中的时间T就是上一步推导的回收等现值分红现金流的时间取整值。
3.因为时间T做了向上取整，这种取整对现值的影响可通过如下方式估计：
4.在计算久期时，使用的时间T如果通过一阶近似，发现跟真实值差距较大，因为此处一阶近似是非常不合理的，这是源于泰勒级数是在某一个点展开，如果要取近似值，必须非常接近该展开点才可以，ln1+x是在点x=1处展开，但是步骤1的一阶近似值离x=1太远了，导致误差较大。如下图红框所示，误差相差18年。
黄色背景是近似值，绿色背景是真实值。因为误差较大，放弃使用近似值。
5.公式的适用条件，如果时间T存在，那么必须a^t=1-(1-a)/(a*DYR0)>0
这个不等式的含义是，分红增长率g高（低分红高增长），或者股息率高（高分红稳增长），才最大可能满足大于1。
6.效果
选择了国有几大行和招商银行做了观察，参数和结果如下：
特定参数下的银行分红久期：
在指定参数下，交通银行的久期最短。
三.扩展知识：久期、修正久期、凸度
债券的久期（麦考利久期）就是债券投资者为收到债券提供的所有现金流平均要等待的时间。债券久期（麦考利久期的升级版：修正久期）的另一个用处就是利用久期估计债券到期收益率变化时债券价格的变化。可是仅仅利用久期估计债券价格变化可能会产生较大误差，因为久期是线性估计（一阶近似），此时就要利用凸度，凸度就是泰勒展开的二阶近似。
麦考利久期：主要用于计算加权平均时间，也是本文使用的久期含义。
修正久期：主要用于计算债券价格变化对到期收益率的变化的敏感度。
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