戴蒙德-迪布维格银行模型（DD模型）的学习和思考
发布时间：2022-05-03 16:58:29
1.DD模型的设定
这是一个包含t=0，1，2三个时刻的模型。模型中仅存在一种消费品，既可以用来消费，也可以用来投资。在t=0时刻，每位消费者均有1单位消费品禀赋。在t=1，2时刻，消费者不再获得新的禀赋。在各个时刻之间，消费者的贴现因子均为1。
资产
存在两种资产可被用来投资，消费者可以用它们将0时刻的消费品转移到1时刻或2时刻（图22-1）。两种资产分别是：
短期资产（流动性资产）：短期资产是一种储藏技术。它可以将t时刻的1单位消费品转化为t+1时刻的1单位消费品（t=0，1）。
长期资产（非流动性资产）：长期资产需要两期才能获得回报。在t=0时刻将1单位消费品投资到长期资产上，在t=2时刻可以产生R（R>1）单位消费品。我们还能假设在t=1时刻可以提前变现长期资产，获得r的回报（0<r<=1）。
与短期资产相比，长期资产牺牲了流动性（灵活性），但可以获得更高的投资回报。这种流动性与回报率之间的权衡（tradeoff）在现实世界中非常普遍。
流动性偏好
假设消费者只在1时刻或者2时刻消费。也就是说，消费者获得消费品禀赋的时间与消费的时间不相同。因此，消费者必须要借助两种资产来将0时刻的禀赋转移到1时刻或2时刻。
消费者在消费时间的偏好上存在不确定性。消费者有λ的概率成为一个前期消费者（无耐心），只能够通过1时刻的消费获得效用。消费者还有1-λ的概率可成为一个后期消费者（有耐心），只能通过2时刻的消费获得效用。因此，对前期（后期）消费者来说，2时刻（1时刻）的消费没有价值。消费者的效用函数为
在0时刻，消费者并不知道自己是前期消费者还是后期消费者，但他知道自己成为前期消费者的概率为λ。在0时刻，消费者必须在这样的不确定下做投资决策，决定将多少禀赋投资在短期资产上，又将多少禀赋投资在长期资产上。在0时刻决策时，消费者需要通过对禀赋的配置来最大化其期望效用，其目标函数如下所示，
由于成为两种状态的可能性都存在，所以消费者如果仅靠自己，在0时刻必然会在长期资产和短期资产上都投资一些。而在1时刻获知了自己的类型之后，前期消费者肯定会后悔投资在了长期资产上（因为长期资产在1时刻没有回报），而后期消费者则会后悔投资了短期资产（因为他损失了本可以通过长期资产获得的更高回报）。显然，在资产期限和时间偏好之间存在着不匹配的问题，金融中介就是来解决这一问题的。
2.自给自足状况下的配置
在自给自足的状况下，消费者完全靠自己在0时刻投资所产生的回报来支持其1时刻或2时刻的消费。令θ为消费者在0时刻投资在短期资产中的禀赋比例，自然地，0时刻投资在长期资产中的比例就为1-θ。由于消费者在0时刻的禀赋为1，所以1时刻和2时刻的消费分别为
将上式代入消费者的期望效用函数可得
在内点解上，θ的最优值满足
假设θ^ATK为上式的解，将其代入消费者在0时刻的期望效用函数，可得这种情况下的效用水平为E(U^ATK)。E(U^ATK)可被视为消费者的保留效用，如果其他安排无法达到这个效用水平，消费者就会退回到自给自足的状态，这是我们接下来进行福利比较的一个基准。
3.最佳配置（中央计划者配置）
我们注意到虽然在消费者的微观层面存在不确定性，但在许多消费者加总起来的宏观层面其实没有不确定性。大数定律告诉我们，不管单个消费者的类型是怎样的，总人口中总有λ比例的前期消费者，以及1-λ比例的后期消费者。因此，如果让一个中央计划者来配置资源，可以让每个消费者都达到最高的0时刻的期望效用，这将产生最佳配置。我们假设经济中有总数为N的消费者（N足够大，以使得大数定律生效），则经济中0时刻消费品禀赋为N，经济中的前期消费者的数量为λN，后期消费者数量为（1-λ）N。
中央计划者将所有消费者的禀赋集中起来投资到短期资产和长期资产中（投入到短期资产的比例为θ）。并在1时刻和2时刻分别给前期消费者和后期消费者提供c1与c2的人均消费品。这样，1时刻经济中消费品的需求量为λNc1，2时刻消费品的需求量为(1-λ)Nc2。注意到1时刻和2时刻经济中消费品的总需求量是确定的，不存在不确定性，因此，中央计划者会选择资产组合，精确地在1时刻和2时刻满足经济中的消费品需求量，所以，
我们可以比较一下上市与自己自足状态下两期消费的决定方程。在自己自足的状态下，后期消费者手里总会持有短期资产，所以后期消费者在2时刻的消费来自短期资产和长期资产带来的回报。后期消费者因为持有短期资产而损失了本来可以在长期资产上获得的更高回报。而在中央计划者问题中，中央计划者可以精确地知道经济中前期消费者和后期消费者的人数，因而可以精确选择资产配置来使短期资产在1时刻的回报正好等于前期消费者的总消费，这样，就没有损失任何可以获得的高回报。所以在式中（上式）我们可以看到，后期消费者的消费只来自长期资产的回报。
我们再来看优化的目标函数。中央计划者在式（上式）的约束之下，最大化所有消费者的总效用，其目标函数如下所示，
注意，在目标函数以及约束条件中可以把N去掉，而不影响优化问题的本质。因此，中央计划者的优化问题可以写为
事实上，我们可以更加简单地假设经济中消费者的总数量为1而非N，这样可以直接得到上述优化问题。假设总规模为1是宏观模型分析里面常用的简化技巧，但千万不要将总量问题与单个消费者的问题混淆起来。如果你弄不清楚，那就假设人数总规模为N进行分析。
将中央计划者优化问题的约束条件代入目标函数可得
这一优化问题的一阶条件为
由于R>1，所以必然有c1^BST<c2^BST。假设θ^BST为上式的解，那么在对应的中央计划者的情况下，消费者的期望效用为E(U^BST)。E(U^BST)就是消费者可能达到的最高效用水平，这是我们比较的另一个基准。
4.市场均衡（market equilibrium）
在自给自足的情况下，消费者在发现自己是前期消费者时，总是会后悔自己投资了长期资产。而后期消费者则总会后悔自己投资了短期资产。很容易想到，如果让两类消费者可以相互交易，他们的效用就都能得到提升。
理论上来说，如果能够构造出阿罗-德布鲁市场，就能达到前文中通过中央计划者问题求出的最优配置。但这个阿罗-德布鲁市场在现实中可能存在吗？在这里的模型中，每个消费者的类型（前期、后期）是决定世界状态的因素。如果市场中有N个消费者，世界的状态就会有2^N个。而且，这2^N个阿罗证券在0时刻就需要完成交易。令问题变得更加棘手的是，消费者在1时刻的类型只是消费者自己的私人信息，就算有再发达的技术，只要没有读心术，别人都无法知道消费的类型（后期消费者总是可以伪装成前期消费者）。由于有这样的障碍，因此在这个模型中不存在阿罗-德布鲁市场。
在模型中真正可能实现的市场是在1时刻，当消费者获知了自己的类型之后，前期消费者和后期消费者在市场上交易其资产。前期消费者将自己手中的长期资产出售给后期消费者，换取后期消费者手中的短期资产。
还是像之前一样，假设消费者在0时刻将θ份额的禀赋投资在短期资产上，1-θ份额的禀赋投资在长期资产上。在1时刻的资产交易市场上，如果以消费品为计价单位的长期资产的价格为p（短期资产1时刻的价格显然为1），则前期消费者和后期消费者的人均消费分别为
求解两时刻消费的关键是资产价格p的确定。用简单的经济推理可以知道，p一定等于1。我们用如下命题来阐述这个结论。
命题22.1：在1时刻的市场中，长期资产的价格一定为1（p=1）。
有了命题22.1，我们可以容易地得到以下几个结论。
（1）市场均衡优于自给自足。
（2）一般情况下市场均衡不是最优配置。
（3）市场流动性提供的无效性。
在时刻1的资产市场中，长期资产的价格对交易数量完全不敏感，但这恰恰说明了市场对流动性的提供是无效率的。
在时刻0，消费者根据在时刻1时对长期资产价格p=1的预期来做决策，而这个价格是在时刻0消费者必须愿意同时持有两种资产的前提下决定的。事实上，前期消费者在时刻0没有动力持有长期资产，而后期消费者在时刻0则没有动力持有短期资产。p=1这个价格并没有揭示出消费者根据自己未来可能的类型而愿意对长期资产支付的价格。
但是需要注意，这种无效性只是这种特定市场（只在时刻1开放）所具有的。如果消费者可以在0时刻交易或有要求权（contingent claim，即阿罗证券）,这一或有要求权的支付根据消费者在时刻1所显现的类型——前期消费者或后期消费者——而定，那么市场是可以达成最优配置的。但正如我们之前所分析的，这样的0时刻阿罗-德布鲁市场难以存在。
5.银行
暂略......
6.思考
a.问题：银行的本质是什么？
b.问题：到底是什么创造了银行？
c.问题：只有银行才能成为银行吗？
7.其他
a.再谈概率
b.个体的优化
c.心理学延伸
下一篇：美联储加息和缩表有什么影响？
上一篇：什么是加息缩表